0是自然數(shù)嗎為什么

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1、“0”為什么也是自然數(shù)？2、0為什么是一個(gè)自然數(shù)3、為什么0是自然數(shù)4、0是自然數(shù)嗎為什么“0”為什么也是自然數(shù)？

“0”是否包括在自然數(shù)之內(nèi)存在爭(zhēng)議，有人認(rèn)為自然數(shù)為正整數(shù)，即從1開(kāi)始算起；而也有人認(rèn)為自然數(shù)為非負(fù)整數(shù)，即從0開(kāi)始算起。目前關(guān)于這個(gè)問(wèn)題尚無(wú)一致意見(jiàn)。不過(guò)，在數(shù)論中，多采用前者；在集合論中，則多采用后者。 ? 國(guó)外的數(shù)學(xué)界大部分都規(guī)定0是自然數(shù)。

為了國(guó)際交流的方便，1993年頒布的《中華人民共和國(guó)國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)》（GB3100~3102-93）《量和單位》（11-2.9）第311頁(yè)，規(guī)定自然數(shù)包括0。但是，在小學(xué)階段的“整除”部分，仍然不考慮自然數(shù)0，因而在約數(shù)、倍數(shù)等概念中都不包括0。另外，一般情況下我們不說(shuō)數(shù)0是幾位數(shù)，所以最小的一位數(shù)是1。 ? 并且零（即0）是一個(gè)自然形成的數(shù)字，應(yīng)該規(guī)劃與“自然數(shù)”。

我國(guó)傳統(tǒng)的教科書(shū)所說(shuō)的臘空自然數(shù)都是指正整數(shù)。在國(guó)外，有些國(guó)家的教科書(shū)是把0也算作自然數(shù)的。這本是一種人為的規(guī)定，我國(guó)為了推行國(guó)際標(biāo)準(zhǔn)化組織 (ISO)制定的國(guó)際標(biāo)準(zhǔn)，定義自然數(shù)集包含元素0，也是為了早日和國(guó)際接軌。 ? 現(xiàn)行九年義務(wù)教育教科書(shū)和高級(jí)中學(xué)教科書(shū)(試驗(yàn)修訂本)都把非負(fù)整數(shù)集也叫做自然數(shù)集，記作N，而正整數(shù)集記作N＋或N*。這就一改以往0不是自然數(shù)的說(shuō)法，明確指御禪出0也是自然數(shù)集的一個(gè)元素。

自然數(shù)用以計(jì)量事物的件數(shù)或表示事物次序的數(shù)。即用數(shù)碼0，1，2，3，4，??所表示的數(shù)。表示物體個(gè)數(shù)的數(shù)叫自然數(shù)，自然數(shù)由0開(kāi)始，一個(gè)接一個(gè)，組成一個(gè)無(wú)窮的集體。自然數(shù)有有序性，無(wú)限性。分為偶數(shù)和奇數(shù)，輪拆瞎合數(shù)和質(zhì)數(shù)等。

中文名：自然數(shù)

外文名：Natural number

分 ? ?類(lèi)：數(shù)學(xué)

又 ? ?稱(chēng)：非負(fù)整數(shù)

性 ? ?質(zhì)：有序性 無(wú)限性

分 ? ?為：偶數(shù)奇數(shù)，合數(shù)質(zhì)數(shù)

0為什么是一個(gè)自然數(shù)

在過(guò)去的中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，數(shù)字“0”一直不屬于自然數(shù)，但是現(xiàn)在已明確把“0”歸于自然數(shù)。為什么有這樣的變化?作為數(shù)學(xué)教師必須清楚。許多數(shù)學(xué)工作者都認(rèn)為這僅僅是一個(gè)“規(guī)定”，用數(shù)學(xué)的行話講即“定義”，這就是說(shuō)以前定義“1，2，3，…，n…”為自然數(shù)集，而現(xiàn)在則定義“0，1，2，3，…，n…”為自然數(shù)集。顯然這樣的解釋是不夠的，下面談?wù)劰P者的理解。

1?自然數(shù)的功能

自然數(shù)是人類(lèi)最早認(rèn)識(shí)并用之描述自然界數(shù)量關(guān)系的數(shù)學(xué)概念。一開(kāi)始它就有三個(gè)基本功能：一是基數(shù)功能，用來(lái)刻畫(huà)某一類(lèi)事物的多少，用現(xiàn)代集合論的語(yǔ)言來(lái)說(shuō)，就是描述有限集的基數(shù);二是序數(shù)功能，用來(lái)刻畫(huà)某一類(lèi)事物的順序，用現(xiàn)代集合論的語(yǔ)言來(lái)說(shuō)，就是描述有限集中元素的順序性質(zhì);第三個(gè)是運(yùn)算功能，自然數(shù)可以做加法和乘法，這些運(yùn)算用來(lái)描述自然界中事物之間的數(shù)量關(guān)系，隨著對(duì)運(yùn)算的深入研究，使我們進(jìn)一步又建立了整數(shù)、有理數(shù)、實(shí)數(shù)、復(fù)數(shù)及其運(yùn)算，這樣我們對(duì)自然界事物的數(shù)量關(guān)系的描述更加完整和精細(xì)。

2?為什么要把“0”作為自然數(shù)

我們從自然數(shù)的功能上回答這個(gè)問(wèn)題。

　　比較好、“0”不是自然數(shù)時(shí)，其基數(shù)功能不完整。我們知道“空集”是最基本的集合，也是我們描述周?chē)F(xiàn)象時(shí)常用到的集合概念，在集合論中用專(zhuān)門(mén)的符號(hào)“Φ”表示。例如方程x2+1=0的實(shí)根集合就是一個(gè)空集。有了空集的概念后，我們可以用公理化的方法給出所有自然數(shù)的定義。首先，對(duì)任意集合A，我們定義A+=A∪{A}為集合A的后繼。其次，定義：0=Φ;1=0+=Φ∪{Φ}={Φ};2=1+={Φ}∪{{Φ}}={Φ,{Φ}};3=2+={Φ,{Φ}}∪{{Φ,{Φ}}}={Φ,{Φ},{Φ,{Φ}}};……從這個(gè)定義可以看出，每個(gè)自然數(shù)可看作一個(gè)集合的名稱(chēng)。在日常生活中，我們常用數(shù)出集合元素?cái)?shù)目的辦法來(lái)判斷有限集中元素的個(gè)數(shù)，這實(shí)際上是在所給集合與某個(gè)自然數(shù)表示的集合之間建立一個(gè)一 一對(duì)應(yīng)。所以用集合論的觀點(diǎn)，我們可給出有限集及其元素個(gè)數(shù)的嚴(yán)格定義如下：“設(shè)A是一個(gè)集合，若在A與自然數(shù)集N的某個(gè)元素n之間存在一 一對(duì)應(yīng)，則稱(chēng)A為有限集(否則稱(chēng)為無(wú)限集，即A不能與任一自然數(shù)n建立一 一對(duì)應(yīng)時(shí)，稱(chēng)A為無(wú)限集)，且稱(chēng)n為集合A的基數(shù)或勢(shì)(即通常所說(shuō)的集合的元素個(gè)數(shù))”。把空集劃分為有限集是很自然的。但當(dāng)“0”不是自然數(shù)時(shí)，就沒(méi)有一個(gè)自然數(shù)可表示空集的基數(shù)，這樣不管從日常生活的語(yǔ)義上，還是上述嚴(yán)格定義上，自然數(shù)描述有限集基數(shù)的功能均不完整;反之，可用“0”表示空集的基數(shù)，則“所有自然數(shù)”就可以完整刻畫(huà)“所有有限集元素的多少”這一任務(wù)。這樣我們從自然數(shù)的基數(shù)功能說(shuō)明了把“0”作為自然數(shù)的好處。

　　第二、我們還要說(shuō)明，把“0”作為自然數(shù)，不會(huì)影響其“序數(shù)功能”與“運(yùn)算功能”。

首先，在集合論中，常常要討論元素之間的序關(guān)系，并根據(jù)序關(guān)系的性質(zhì)將集合分為“偏序集”、“線性序集”、“良序集”等，序關(guān)系為我們提供了一種比較集合中元素的手段，在日常生活中有廣泛的應(yīng)用。自然數(shù)的序關(guān)系具有比較好的性質(zhì)，這些性質(zhì)通常是用關(guān)系運(yùn)算“≤、≥、、、=、≠”來(lái)描述的。我們說(shuō)“0”作為自然數(shù)，是不會(huì)影響其“序數(shù)功能”的。

在“順序”方面，除了上述性質(zhì)外，自然數(shù)還有一種特殊的性質(zhì)，這也是自然數(shù)區(qū)別于整數(shù)集、有理數(shù)集、實(shí)數(shù)集的本質(zhì)性質(zhì)，即“自然數(shù)的任一非空子集中，一定有最小的數(shù)”，也就是說(shuō)自然數(shù)集還是一個(gè)良序集。盡管整數(shù)集、有理數(shù)集、實(shí)數(shù)集都是線性序集，但它們不具有自然數(shù)的特殊性質(zhì)。例如，所有負(fù)整數(shù)是整數(shù)集的子集，但它無(wú)最小數(shù)。又如區(qū)間 (0，1)作為實(shí)數(shù)集的非空子集也沒(méi)有最小數(shù)，而區(qū)間 (0，1)內(nèi)所有有理數(shù)構(gòu)成的集合作為有理數(shù)集的非空子集也沒(méi)有最小數(shù)。自然數(shù)的這一特殊性質(zhì)是保證數(shù)學(xué)歸謹(jǐn)畢納法成立的基本性質(zhì)。

很明顯，不管“0”是否歸于自然數(shù)集，上面討論的自然數(shù)的“順序”性質(zhì)都成立，當(dāng)然也包括那種兆晌乎特殊性質(zhì)。實(shí)質(zhì)上沒(méi)有“0”的自然數(shù)集與包括“0”的自然數(shù)集可以在下面的對(duì)應(yīng)規(guī)則下看作是“完全一樣”的：n→n+1，從代數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)來(lái)看它們是“同構(gòu)”的。這樣我們說(shuō)明了把“0”作為自然數(shù)，不會(huì)影響其“序數(shù)功能”。

　　3?結(jié)論

既然“0”加盟到自然數(shù)集合中，只有好處，沒(méi)有壞處，我們?yōu)槭裁床粴g迎“0”作為自然數(shù)集合的一個(gè)成員呢?即“0”作為自然數(shù)是理所當(dāng)然的，而不族悉僅僅是一種“規(guī)定”。這可幫助我們更好地理解自然數(shù)和它的功能，也可幫助我們養(yǎng)成一個(gè)良好的習(xí)慣，即學(xué)習(xí)一個(gè)數(shù)學(xué)概念時(shí)，不但要記住和理解“定義”和“規(guī)定”，還要思考這些“定義”和“規(guī)定”后面的數(shù)學(xué)含義。

為什么0是自然數(shù)

0是自然數(shù)

從歷史上看，國(guó)內(nèi)和國(guó)外對(duì)于0是不是自然數(shù)歷來(lái)有兩種規(guī)定：一種規(guī)定0是自然數(shù)，另一種規(guī)定0不是自然數(shù)。建國(guó)以來(lái)，我們國(guó)家的中小學(xué)教材一直規(guī)定自然數(shù)集合不包括0。

現(xiàn)在，國(guó)外的數(shù)學(xué)界，大部分都是規(guī)定0是自然數(shù)，為了國(guó)如毀際交流的方便，《國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)》中規(guī)定，自然數(shù)集包括0。因此，在我們新出版的教材中，按照《國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)》進(jìn)行了這樣的處理，原來(lái)的自然虧明數(shù)集合現(xiàn)在稱(chēng)為正整數(shù)集。同時(shí)，我們也按照國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)的規(guī)定規(guī)范使用了一些數(shù)學(xué)符號(hào)的表示方法。

從使用上看，規(guī)定自然數(shù)集合是否包括0并無(wú)太大影響。作為序數(shù)，從0開(kāi)始和從1開(kāi)始是一樣的；以前我們所說(shuō)的n∈N，現(xiàn)在只要說(shuō)n是正整數(shù)就可銷(xiāo)橡告以了。

可參考國(guó)家技術(shù)監(jiān)督局發(fā)布的《中華人民共和國(guó)國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)——量和單位》（GB3100-3102-93，1993/12/27發(fā)布，1994/07/01實(shí)施）

0是自然數(shù)嗎為什么

0是屬于自然數(shù)，0加入傳統(tǒng)的自然數(shù)集合，所有的運(yùn)算規(guī)則依舊保持，如新自然數(shù)集合{0，1，2，，n，}中的任何兩個(gè)自然數(shù)都可以進(jìn)行加法和乘法運(yùn)算，而運(yùn)算結(jié)果仍然是自然數(shù)。同時(shí)，加法、乘法運(yùn)算的結(jié)合律和交換律，以及乘法的分配律也不會(huì)受到影響。

但是，對(duì)于0，它是否包括在自然數(shù)之內(nèi)存在爭(zhēng)議，有人認(rèn)為自然數(shù)為正整數(shù)，即從1開(kāi)始算起；而也有人認(rèn)為自然數(shù)為非負(fù)整數(shù)，即從消指0開(kāi)始算起。到21世紀(jì)關(guān)于這個(gè)問(wèn)題也尚無(wú)一致意見(jiàn)。

在國(guó)外，有些GJ的教科書(shū)是把0也則橋碰算作自然數(shù)的。這本是一種人為的規(guī)定，我國(guó)為了推行國(guó)際標(biāo)準(zhǔn)化組織（ISO）制定的國(guó)際標(biāo)準(zhǔn)，定義自然數(shù)集包含元素0，也是為了早日和孫談國(guó)際接軌。

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